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\begin{document} \numberwithin{equation}{section} \maketitle \renewcommand{\abstractname}{\varAbstractTitle} \graphicspath{{\varImagesPath}} 

% Document body
Si vuole calcolare la probabilità di errore di un canale di trasmissione.

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=140px] {qpsk}
\centering
\label{qpsk}
\caption{Diagramma delle fasi}
\end{figure}

Il segnale ricevuto è uguale a quello trasmesso più un contributo di rumore gaussiano $N$, che è interpretabile come una variabile aleatoria:
\begin{gather}
	R=S+N
\end{gather}

Ipotizzando di trasmettere il simbolo $s2$, la somma della realizzazione della variabile aleatoria $N$ farà in modo di spostarlo fino a raggiungere $r$:
\begin{gather}
	r=s2+n
\end{gather}

L'obiettivo è quello di progettare un algoritmo che possa riconoscere quale simbolo è stato trasmesso, quindi dato $r$ deve "decidere" se si trattava di $s2$ oppure qualcos altro; bisogna quindi selezionare un indice $i$ che rappresenti il simbolo più probabile a posteriori (criterio MAP):
\begin{gather}
	i=\text{argmax}\, P\{S=sj | R=r \}, \quad j=1\dots 4
\end{gather}

Viene quindi applicata la formula di Bayes per calcolare la probabilità che un simbolo sia uguale a quello scelto $sj$ dato che la realizzazione è $r$:
\begin{gather}
	P\{S=sj | R=r\}=\frac{P\{R=r | S=sj\}\cdot P\{S=sj\}}{P\{R=r\}}
\end{gather}

La variabile $S$ è discreta, mentre $R$ è continua, dato che viene influenzata da un rumore gaussiano. Si ha quindi una variabile mista, e il coefficiente $i$ è quindi dato da:

\begin{gather}
	i=\text{argmax}\, \frac{f_R (r | S=sj)\cdot P\{S=sj\}}{f_R(r)} \\
	P\{S=sj\} = \frac{1}{4}\, \forall j
\end{gather}

Se si sta minimizzando la risposta a $j$, $f_R(r)$ è ininfluente, quindi si rimuove, ottenendo:
\begin{gather}
	i=\underset{j}{\text{argmax}}\,f_R(r|S=sj)
\end{gather}

$R$ è quindi dato da $sj+N$, risulta essere una variabile aleatoria gaussiana con media $sj$ e varianza $N_0$.

La formula della gaussiana è formata da una parte esponenziale negativa:
\begin{gather}
	\frac{1}{...}e^{-\frac{|r-sj|^2}{2N_0}}
\end{gather}
Di conseguenza le realizzazioni sono singoli eventi denotati in fig.\ref{qpsk-expneg}, dove la esponenziale maggiore passa $\text{argmax}$.
\begin{figure}[h]
	\includegraphics[width=140px] {qpsk-expneg}
	\centering
	\label{qpsk-expneg}
	\caption{Eventi per probabilità}
\end{figure}

A questo punto si tratta solo di trovare il minimo fra 4 quadrati:
\begin{gather}
	=\text{argmax }\frac{|r-sj|^2}{2N_0} \\
	=\text{argmax }|r-sj|
\end{gather}

In conclusione, la variabile aleatoria del rumore in un istante è gaussiana AWGN (Additive White Gaussian Noise) e sposta i punti ricevuti nel piano. Il punto con la distanza minore dal simbolo che si cerca è quello più probabile.

Per distinguere a quale simbolo la realizzazione ricevuta corrisponde, si confronta con tutti i casi in modo individuale (quindi s1 con s2, s1 con s3, ecc...), ottenendo alla fine una divisione del piano che distingue uno spazio in cui deve ricadere un simbolo ricevuto per appartenere a quello che si cerca.



\end{document}